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miércoles, 13 de mayo de 2015
Axiomas,
definiciones y teoremas
La
geometría se propone ir más allá de lo alcanzado por la intuición. Por ello, es
necesario un método riguroso, sin errores; para conseguirlo se han utilizado
históricamente los sistemas axiomáticos. El primer sistema axiomático lo
establece Euclides, aunque era incompleto. David Hilbert propuso a principios
del siglo XX otro sistema axiomático, éste ya completo. Como en todo sistema
formal, las definiciones, no sólo pretenden describir las propiedades de los
objetos, o sus relaciones. Cuando se axiomatiza algo, los objetos se convierten
en entes abstractos ideales y sus relaciones se denominan modelos.
Esto
significa que las palabras "punto", "recta" y
"plano" deben perder todo significado material. Cualquier conjunto de
objetos que verifique las definiciones y los axiomas cumplirá también todos los
teoremas de la geometría en cuestión, y sus relaciones serán virtualmente
idénticas al del modelo tradicional.
Axiomas
La
geometría esférica es un ejemplo de geometría no euclidiana.
En
geometría euclidiana, los axiomas y postulados son proposiciones que relacionan
conceptos, definidos en función del punto, la recta y el plano. Euclides
planteó cinco postulados y fue el quinto (el postulado de paralelismo) el que
siglos después –cuando muchos geómetras lo cuestionaron al analizarlo–
originará nuevas geometrías: la elíptica (geometría de Riemann) o la
hiperbólica de Nikolái Lobachevski.
En
geometría analítica, los axiomas se definen en función de ecuaciones de puntos,
basándose en el análisis matemático y el álgebra. Adquiere otro nuevo sentido
hablar de puntos, rectas o planos. f(x) puede definir cualquier función,
llámese recta, circunferencia, plano, etc.
Topología
y geometría
El
nudo de trébol.
El
campo de la topología, que tuvo un gran desarrollo en el siglo XX, es en
sentido técnico un tipo de geometría transformacional, en que las
transformaciones que preservan las propiedades de las figuras son los
homeomorfismos (por ejemplo, esto difiere de la geometría métrica, en que las
transformaciones que no alteran las propiedades de las figuras son las
isometrías). Esto ha sido frecuentemente expreso en la forma del dicho "la
topología es la geometría de la página de goma".
Historia
La
geometría es una de las ciencias más antiguas. Inicialmente está constituida en
un cuerpo de conocimientos prácticos en relación con las longitudes, áreas y
volúmenes. La civilización babilónica fue una de las primeras culturas en
incorporar el estudio de la geometría con la invención de la rueda se abrió el
camino al estudio de la circunferencia, que conllevaría posteriormente al
descubrimiento del número π (pi); También desarrollaron el sistema sexagesimal,
al conocer que cada año cuenta con 360 días, además implementaron una fórmula
para calcular el área del trapecio rectángulo.1 En el Antiguo Egipto estaba muy
desarrollada, según los textos de Heródoto, Estrabón y Diodoro Sículo.
Euclides, en el siglo III a. C. configuró la geometría2 en forma axiomática y
constructiva, tratamiento que estableció una norma a seguir durante muchos
siglos: la geometría euclidiana descrita en Los Elementos.
El
estudio de la astronomía y la cartografía, tratando de determinar las
posiciones de estrellas y planetas en la esfera celeste, sirvió como importante
fuente de resolución de problemas geométricos durante más de un milenio. René
Descartes desarrolló simultáneamente el álgebra de ecuaciones y la geometría
analítica, marcando una nueva etapa, donde las figuras geométricas, tales como
las curvas planas, podrían ser representadas analíticamente, es decir, con
funciones y ecuaciones. La geometría se enriquece con el estudio de la
estructura intrínseca de los entes geométricos que analizan Euler y Gauss, que
condujo a la creación de la topología y la geometría diferencial.
Geometría
La
geometría (del latín geometrĭa, y este del griego γεωμετρία de γεω gueo,
‘tierra’, y μετρία metría, ‘medida’) es una rama de la matemática que se ocupa
del estudio de las propiedades de las figuras en el plano o el espacio,
incluyendo: puntos, rectas, planos, politopos (que incluyen paralelas,
perpendiculares, curvas, [[Superficie (matemática Es la base teórica de la
geometría descriptiva o del dibujo técnico. También da fundamento a
instrumentos como el compás, el teodolito, el pantógrafo o el sistema de
posicionamiento global (en especial cuando se la considera en combinación con
el análisis matemático y sobre todo con las ecuaciones diferenciales). Sus
orígenes se remontan a la solución de problemas concretos relativos a medidas.
Tiene su aplicación práctica en física aplicada, mecánica, arquitectura,
geografía, cartografía, astronomía, náutica, topografía, balística, etc. Y es
útil en la preparación de diseños e incluso en la elaboración de artesanía.
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